Publié le dimanche 26 juillet 2020
Modifié le mardi 09 février 2021 à 13h28 1 min
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Démontrer que la fonction dérivée de \(f(x) =|x|\) est \(f'(x) = - 1\) si \(x<0\) et \(f'(x) =1\) si \(x>0\)
Soit la fonction \(f(x) =|x|\).Par disjonction de cas on peut écrire :
Si \(x \ge 0\) alors \(f(x) = 1 \times x+0\) donc le coefficient directeur est \(1\).
Si \(x \le 0\) alors \(f(x) = -1 \times x+0\) donc le coefficient directeur est \(-1\).
Or la fonction dérivée de \(f(x) =ax+b\) est \(f'(x) = a\), donc la dérivée est une fonction avec le coefficient directeur de la fonction initiale pour valeur constante.
Donc la fonction dérivée de \(f(x) =|x|\) est bien \(f'(x) = -1\) pour \(x<0\) et \(f'(x) = 1\) pour \(x>0\).
Remarque : On pourrait aussi écrire que \(f'(x) = \dfrac{x}{|x|}\). En effet si \(x > 0\) alors \(f'(x) = \dfrac{x}{|x|}=\dfrac{x}{x}=1\) et si \(x < 0\), alors \(f'(x)=\dfrac{x}{|x|} = \dfrac{x}{-x} = -1\). Il s'agit simplement d'une expression permettant de combiner les deux cas et d'écrire la dérivée plus simplement. Cela permet aussi de faire apparaître le fait que la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en \(0\), puisqu'il y a alors une division par zéro.
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